Question

求圆心在抛物线x²=4y上，且与直线x+2y+1=0相切的面积最小的圆的方程

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设与直线x+2y+1=0平行且与抛物线相切于点P(m，

m2

4

)的直线方程为x+2y+t=0．由抛物线x²=4y，可得y′=

1

2

x，利用

1

2

m=-

1

2

，解得m=-1，可得切点P(-1，

1

4

)．
利用平行线之间的距离公式可得半径，即可得出．

解答： 解：设与直线x+2y+1=0平行且与抛物线相切于点P(m，

m2

4

)的直线方程为x+2y+t=0．
由抛物线x²=4y，可得y′=

1

2

x，∴

1

2

m=-

1

2

，解得m=-1，
∴切点P(-1，

1

4

)．
代入x+2y+t=0．解得t=

1

2

．
∴圆的半径r=

| 1 2 -1|

5

=

1

2 5

．
∴与直线x+2y+1=0相切的面积最小的圆的方程为(x+1)2+(y-

1

4

)2=

1

20

．
故答案为：(x+1)2+(y-

1

4

)2=

1

20

．

点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、圆的方程、点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．