在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
(1);(2)或
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,先利用离心率列出表达式找到与的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程;第二问,先设点坐标,由题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定理得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2个表达式联立,得到的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)∵ ∴ (1分)
则椭圆方程为即
设则
当时,有最大值为
解得∴,椭圆方程是 (4分)
(Ⅱ)设方程为
由 整理得.
由,得.
(6分)
∴ 则,
由点P在椭圆上,得化简得① (8分)
又由即将,代入得
化简,得
则, ∴② (10分)
由①,得
联立②,解得∴或 (12分)
考点:1.椭圆的标准方程;2.两点间的距离公式;3.配方法求函数最值;4.韦达定理.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数,且不等式的解集为.
(1)方程有两个相等的实根,求的解析式;
(2)的最小值不大于,求实数的取值范围;
(3)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数的最大值为,最小值为,其中.
(1)求、的值(用表示);
(2)已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.求的值.
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