Question

【题目】已知函数，为实数.

（1）当时，判断并证明函数在区间上的单调性；

（2）是否存在实数，使得在闭区间上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）存在

【解析】

（1）根据得到解析式，然后根据，得到解析式，再设且，整理化简，判断出每个因式的正负，从而得到，从而证明在上的单调性；（2）根据，判断出 单调区间，然后根据对称轴与区间之间的关系，进行分类讨论，从而得到答案.

（1）当时，在上单调递减.

以下为证明：

当，得到，

所以当时，，

设且，

因为，所以，

所以，所以

又因，所以，

即

所以当时，在上单调递减.

（2），

因为

所以在，上单调递增，在上单调递减，

①当，即时，在上单调递减，

，即，解得，

②当，即时，在单调递增，在单调递减，

，即，解得（舍），

③当，即时，在上单调递增，

，即，解得（舍），

综上所述，.