Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，PB⊥平面ABCD，PB=1．
（1）求异面直线PA与CD所成角的大小；
（2）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）取BC中点F，连结AF交BD于E，连结PF，∠FAP是异面直线PA与CD所成的角，由此能求出异面直线PA与CD所成角．
（2）连结AF，交BD于E，过E作EG⊥PD于G，连结AG，由已知得∠AGE为二面角A-PD-B的平面角，由此能求出二面角A-PD-B的大小．

解答： 解：（1）取BC中点F，连结AF交BD于E，连结PF，
在梯形ABCD中，AF∥CD，
∴∠FAP是异面直线PA与CD所成的角，
在△PFA中，AF=

2

，PF=

2

，PA=

2

，
∴∠PFA=

π

3

，
∴异面直线PA与CD所成角为

π

3

．
（2）连结AF，交BD于E，过E作EG⊥PD于G，连结AG，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，
在菱形ABFD中，AE⊥BD，则AE⊥平面PBD，
∵EG⊥PD，∴AG⊥PD，
∴∠AGE为二面角A-PD-B的平面角，
在△AGE中，AE=

2

2

，EG=

6

6

，
∴tan∠AGE=

AE

EG

=

3

，
∴∠AGE=

π

3

，
∴二面角A-PD-B的大小为

π

3

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．