Question

设函数f_n（x）=xⁿ（1-x）²在[

1

2

，1]上的最大值为a_n（n=1，2，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（3）若数列{a_n}的前n之和为S_n，证明：对任意正整数n都有S_n＜

7

16

成立．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：证明题,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）易求f′_n（x）=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]，经分析可得n=1时，a1=f1(

1

2

)=

1

8

；当x∈[

1

2

，

n

n+2

)时f′_n（x）＞0，当x∈(

n

n+2

，1)时f′_n（x）＜0，函数f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，利用分析法：要证an=

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，即证(1+

2

n

)n≥4，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；
（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S_n＜

7

16

成立．

解答： 解：（1）由f′n(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]，
当x∈[

1

2

，1]时，由f′（x）=0得x=1或x=

n

n+2

；
当n=1时，

n

n+2

=

1

3

∉[

1

2

，1]，f′₁（x）=0，则 a1=f1(

1

2

)=

1

8

；
当n=2时，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，则a2=f2(

1

2

)=

1

16

；
当n≥3时，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，
而当x∈[

1

2

，

n

n+2

)时f′_n（x）＞0，当x∈(

n

n+2

，1)时f′_n（x）＜0，
故函数f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，
即：an=fn(

n

n+2

)=

4nn

(n+2)n+2

，
综上：an=

1 8 (n=1) 4nn (n+2)n+2 (n≥2)

…（6分）
（2）当n≥2时，要证an=

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，即证(1+

2

n

)n≥4，
而(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(

2

n

)1+

C

2 n

•(

2

n

)2+…≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥4，
故不等式成立…（10分）
（3）当n=1，2时结论成立；
当n≥3时，由（2）的证明可知：Sn=

1

8

+

1

16

+a3+a4+…+an＜

1

8

+

1

16

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

1

8

+

1

16

+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)＜

1

8

+

1

16

+

1

4

=

7

16

，
从而Sn＜

7

16

…（13分）

点评：本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．