Question

设函数f（x）=2|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把要求的不等式转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，则函数f（x）的图象有一部分在直线y=ax的下方，数形结合求得直线的斜率a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）＜2可得

2(3-x)+(4-x) ＜2 x＜3

①，或

2(x-3)+(4-x)＜2 3≤x＜4

 ②，
或

2(x-3)+(x-4)＜2 x≥4

 ③．
解①求得

8

3

＜x＜3，解②求得3≤x＜4，解③求得x∈∅，
综上可得，不等式的解集为（

8

3

，4）．
（Ⅱ）∵f（x）=

10-3x  ，x＜3 x-2  ， 3≤x＜4 3x-10  ，x≥4

，
若不等式f（x）＜ax的解集不是空集，则函数f（x）的图象有一部分在直线y=ax的下方，
如图所示：可得 a＞

1-0

3-0

=

1

3

，或a＜-3，求得a的范围为（

1

3

，+∞）∪（-∞，-3）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．