Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b₁=3，b_n+1=2T_n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足，c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和M_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由韦达定理求出a₂=3，a₅=9，由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由b₁=3，b_n+1=2T_n+3，得b_n+1=3b_n，n≥2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=

2n-1

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和M_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴

a2+a5=12 a2a5=27

，解得a₂=3，a₅=9，或a₂=9，a₅=3（∵d＞0，∴舍去）
∴

a1+d=3 a1+4d=9

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．n∈N^*．
∵b₁=3，b_n+1=2T_n+3（n∈N^*），①
∴b_n=2T_n-1+3（n∈N^*），②
两式相减并整理，得b_n+1=3b_n，n≥2，
∴bn=3n，n∈N^*．
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=

2n-1

3n

，
∴Mn=

1

3

+

3

32

+…+

2n+1

3n

，①

1

3

Mn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

，②

2

3

Mn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Mn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．