Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC．
（1）求证∠PDC=90°，并指出异面直线PA与CD所成角的大小；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使得PB∥平面EAC？如果存在，求出此时三棱锥E-PBC与四棱锥P-ABCD的体积比；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥平面PDC，可得PA⊥CD，即异面直线PA与CD所成角为90°，进而根据线在垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，得到∠PDC=90°，
（2）当点E为棱PD的中点时，PB∥平面EAC，连接BD与AC相交于点O，连接EO，根据中位线定理可得PB∥EO，进而由线面平行的判定定理得到PB∥平面EAC，进而由V_E-PBC=

1

2

V_D-PBC，V_D-PBC=

1

2

V_P-ABCD，得到三棱锥E-PBC与四棱锥P-ABCD的体积比．

解答： 解：（1）∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，
∴PA⊥CD，
即异面直线PA与CD所成角为90°…（2分），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD …（4分）
又∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDC=90°…（6分）
（2）当点E为棱PD的中点时，PB∥平面EAC…（6分）
下面证明并求体积比：
取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为矩形，
∴O为BD的中点
又E为棱PD的中点，
∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC…（8分）
当E为棱PD的中点时，V_E-PBC=

1

2

V_D-PBC，
又V_D-PBC=

1

2

V_P-ABCD，
∴V_E-PBC=

1

4

V_P-ABCD
即三棱锥E-PBC与四棱锥P-ABCD的体积比为1：4…（13分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，异面直线的夹角，线面平行的判定定理与线面垂直的判定定理，难度中档．