Question

已知函数f（x）=x|x-2a|-2x，x∈R．
（1）当a=

1

2

时，函数y=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）需要分类讨论，当x≥1时，f（x）=x²-3x，当x＜1时，f（x）=-x²+x，再根据方程的根的个数判断函数y=f（x）-m零点的情况．
（2需要分类讨论，当x≥2a时，当x＜2a时，再求二次函数的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-2a|-2x，a=

1

2

，
∴f（x）=x|x-1|-2x
当x≥1时，f（x）=x²-3x，
当x＜1时，f（x）=-x²+x
函数y=f（x）-m有三个零点，
∴f（x）-m=0有三个实数根．
①x≥1时，x²-3x-m=0，△=9+4m，
当9+4m＞0时，即m＞-

9

4

方程有两个不相等的实数根，
当9+4m=0，即m=-

9

4

方程有两个相等的实数根，
②x＜1时，-x²+x-m=0，即，x²-x+m=0，△=1-4m，
当1-4m＞0时，即m＞

1

4

方程有两个不相等的实数根，
当1-4m=0，即m=

1

4

方程有两个相等的实数根，
综上所述，当m=

1

4

时，函数y=f（x）-m有三个零点
（2）①当x≥2a时，f（x）=x²-2（a+1）x=[x-（a+1）]²-（a+1）²，
x∈（-∞，a+1）时，f（x）为单调减函数，
x∈[a+1，2a]时，f（x）为单调增函数，
②当x＜2a时，f（x）=-x²+2（a-1）x=-[x-（a-1）]²+（a-1）²，
x∈[a-1，2a）时，f（x）为单调减函数，
x∈（-∞，a-1）时，f（x）为单调增函数，

点评：本题主要考查了函数零点的问题和函数的单调性的问题，属于中档题．