Question

14．已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且${k_{DD}}•{k_{AN}}=\frac{1}{2}$，△AOB的面积为$2\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF₂N的面积为$\frac{16}{3}$，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，求出左焦点F₁（-c，0），右焦点F₂（c，0），B（0，b），A（a，0），推出$D（{\frac{a}{2}，\frac{b}{2}}）$，利用${k_{OD}}•{k_{AB}}=\frac{b}{a}•（{-\frac{b}{a}}）=-\frac{1}{2}$知，a²=2b²，结合三角形的面积，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）由上知F₁（-2，0），设过F₁的直线l的方程为：x+2=my，联立直线与椭圆方程，消去x，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理弦长公式，表示三角形的面积，然后求解即可．

解答 解：（1）设椭圆方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
左焦点F₁（-c，0），右焦点F₂（c，0），B（0，b），A（a，0），
则$D（{\frac{a}{2}，\frac{b}{2}}）$，由已知${k_{OD}}•{k_{AB}}=\frac{b}{a}•（{-\frac{b}{a}}）=-\frac{1}{2}$知，a²=2b²，
又${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}ab=2\sqrt{2}⇒ab=4\sqrt{2}$，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆方程为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由上知F₁（-2，0），设过F₁的直线l的方程为：x+2=my，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.⇒（{{m^2}+2}）{y^2}-4my-4=0$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+2}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{4}{{{m^2}+2}}\end{array}\right.$，又因为${S_{△M{F_2}N}}=\frac{1}{2}•2c•|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{{{（{\frac{4m}{{{m^2}+2}}}）}^2}-4•（{-\frac{4}{{{m^2}+2}}}）}=\frac{16}{3}$；
化简得2m⁴-m²-1=0⇒m²=1或${m^2}=-\frac{1}{2}$（舍去），
故m=±1，此时直线l的方程为：x-y+2=0或x+y+2=0，
易知F₂（2，0）到直线l的距离为圆的半径，即$r=2\sqrt{2}$，
所以所求圆的方程为：（x-2）²+y²=8．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．