Question

6．已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足${b_n}={2^{a_n}}+1$，求数列{b_n}的前n项和s_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；
（2）求得${b_n}={2^{a_n}}+1$=2²ⁿ+1=4ⁿ+1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
可得a₃²=a₁a₉，
即有（2+2d）²=2（2+8d），
解得d=2（0舍去），
则数列{a_n}的通项公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）满足${b_n}={2^{a_n}}+1$=2²ⁿ+1=4ⁿ+1，
即有前n项和s_n=（4+16+…+4ⁿ）+n
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+n，
故数列{b_n}的前n项和${s_n}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）+n$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．