Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个面A₁B₁C₁D₁在半径为$\sqrt{3}$的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 正方体底面A₁B₁C₁D₁的中心为半球的球心，从而求出正方体的棱长，得出体积．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内接于半径为$\sqrt{3}$的半球，
∴正方形A₁B₁C₁D₁的中心O为半球的球心，
设正方体棱长为a，则OA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴OA=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴正方体的体积V=a³=2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了圆与内接正方体的关系，寻找求的半径与正方体棱长的关系是解题关键，属于中档题．