Question

2．给出下列命题：
（1）?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＞x；
（2）?x₀∈R，使得sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$；
（3）?x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$；
（4）?x₀∈R，使得lnx₀=x₀-1．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根据三角函数线判断即可；
（2）（4）利用特殊值法可判断；
（3）通过构造函数，利用导函数判断函数的单调性，得出结论．

解答 解：（1）?x∈（0，$\frac{π}{2}$），根据正弦线易判断sinx＜x，故错误；
（2）当x₀=$\frac{π}{4}$时，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$，故正确；
（3）?x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$，
整理不等式e^x＜$\frac{1}{1-x}$，
e^x-xe^x-1＜0，
令f（x）=e^x-xe^x-1，
f'（x）=-xe^x＜0，
∴f（x）在（0，1）上递减，
∵f（0）=0，f（1）=-1，故存在x∈（0，1），e^x＜$\frac{1}{1-x}$，故正确；
（4）当x₀=1时，lnx₀=x₀-1，故正确，
故选C．

点评 考查了三角函数线的应用，对存在问题的解题方法和导函数的应用．