Question

14．设a∈R，函数f（x）=ax²+bx-a（|x|≤1）．
（1）若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，求证：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）当b=1，若f（x）的最大值为$\frac{17}{8}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接代入|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，求出a，b的范围，然后利用绝对值的性质证明即可．
（2）利用条件以及（1）的结果，讨论a的范围求解函数的最值得到方程，求出a的值．

解答 （1）证：∵|f（0）|=|a|≤1；
|f（1）|=|b|≤1；
∴|f（x）|=|a（x²-1）+bx|≤|a||x²-1|+|b||x|≤|x²-1|+|x|，
∵-1≤x≤1，
∴|f（x）|≤|x²-1|+|x|=1-x²+|x|=-（|x|-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴$|{f（x）}|≤\frac{5}{4}$．
（2）解：b=1当|a|≤1时，∵$f（x）≤\frac{5}{4}$，f（x）的最大值为$\frac{17}{8}$矛盾，∴|a|＞1
当a＞1时，∵$\frac{-1}{2a}∈（-1.0）$，∴f（x）在$（-1，-\frac{1}{2a}）$是减函数，$（-\frac{1}{2a}，1）$是增函数，
∵f（1）=1，f（-1）=-1，
∴f（x）_max=f（1）=1不符题意．
当a＜-1时 $-\frac{1}{2a}（-10，1）$，∴f（x）在$（-1，-\frac{1}{2a}）$是增函数，
在$（-\frac{1}{2a}，1）$是减函数，
∴$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{2a}）=-a-\frac{1}{4a}=\frac{17}{8}$-8a²-2=17a，即8a²+17a+2=0，
∴$a=-\frac{1}{8}$或a=-2，
∵a＜-1，
∴a=-2．

点评 本题考查函绝对值的函数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用．