Question

7．已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过点A（0，1）及B（$\frac{π}{2}$，1）．
（1）已知b＞0，求f（x）的单调递减区间；
（2）已知x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由已知列式得到b，c与a的关系，把函数解析式用含有a的代数式表示．
（1）直接利用与正弦函数有关的复合函数的单调性求得f（x）的单调递减区间；
（2）设sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则y=$\sqrt{2}（1-a）t+a$，由x得范围得到t的范围，然后对1-a＞0、1-a=0、1-a＜0分类讨论求解得答案．

解答 解：由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a+b=1}\\{f（\frac{π}{2}）=a+c=1}\end{array}\right.$，则b=c=1-a，
∴f（x）=（1-a）（sinx+cosx）+a=$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{4}）+a$．
（1）∵1-a=b＞0，由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得：
$2kπ+\frac{π}{4}≤x≤2kπ+\frac{5π}{4}，k∈Z$，
∴f（x）的递减区间为[$2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}$]，k∈Z；
（2）设sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则y=$\sqrt{2}（1-a）t+a$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴x+$\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），则t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，
①当1-a＞0时，f（x）∈（1，$\sqrt{2}（1-a）+a$]，此时|f（x）|≤2恒成立，只需$\sqrt{2}（1-a）+a≤2$，得a∈[$-\sqrt{2}$，1）；
②当1-a=0时，f（x）=1，满足题意；
②当1-a＜0时，f（x）∈[$\sqrt{2}（1-a）+a，1$），此时|f（x）|≤2恒成立，只需$\sqrt{2}（1-a）+a≥-2$，得a∈（1，4+3$\sqrt{2}$]．
综上所述，a的取值范围为[$-\sqrt{2}，4+3\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了函数恒成立问题的求解方法，是中档题．