Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则a_n=$\frac{1}{3n-2}$，，若b_n=a_na_n+1，则b_n的前n项和为$\frac{n}{3n+1}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，求出等差数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求得{b_n}的前n项和．

解答 解：由a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以3为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+3（n-1）=3n-2$，
则${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$；
b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}•\frac{1}{3n+1}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}）+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）=\frac{n}{3n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{3n-2}$，$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的通项公式，是中档题．