Question

18．设函数f（x）的定义域为D，若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=-f（x）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”．下列所给出的五个函数：
①y=x²；②y=$\frac{1}{x-1}$；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x+3；⑤y=2sin x-1．
其中是“美丽函数”的序号有②③④ ．

Answer 1

分析 由题意知“美丽函数”的值域关于原点对称，分别求出各函数的值域即可．

解答 解：∵若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=-f（x）成立，
∴f（x）的值域关于原点对称．
①函数y=x²的值域为[0，+∞），不关于原点对称；
②函数y=$\frac{1}{x-1}$的值域为{y|y≠0}，关于原点对称；
③函数f（x）=ln（2x+3）的值域为R，关于原点对称；
④函数y=2x+3的值域为R，关于原点对称；
⑤函数y=2sinx-1的值域为[-3，1]，不关于原点对称；
故答案为：②③④．

点评 本题考查了对新定义的理解，基本初等函数的值域，属于中档题．