Question

8．经过点A（1，2），且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线有几条？试分别求出它们的斜率．

Answer 1

分析 设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，把点A（1，2）代入可得2a+b=ab．利用三角形的面积计算公式可得|ab|=12，联立即可求得直线方程，进一步得到直线的斜率．

解答 解：设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
把点A（1，2）代入直线方程可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
得ab=2a+b，
又$S=\frac{1}{2}|ab|=6$，得ab=±12．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=12}\\{ab=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3+\sqrt{3}}\\{b=6-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=3-\sqrt{3}}\\{b=6+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-12}\\{ab=-12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3+\sqrt{15}}\\{b=-6-2\sqrt{15}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3-\sqrt{15}}\\{b=-6+2\sqrt{15}}\end{array}\right.$．
∴满足条件的直线共有4条．
其斜率分别为：${k}_{1}=-\frac{6-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=-4+$2\sqrt{3}$，${k}_{2}=-\frac{6+4\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}$=4-2$\sqrt{3}$，
${k}_{3}=-\frac{-6-2\sqrt{15}}{-3+\sqrt{15}}$=$8+2\sqrt{15}$，${k}_{4}=-\frac{-6+2\sqrt{15}}{-3-\sqrt{15}}$=$-8-2\sqrt{15}$．

点评 本题考查了直线的截距式方程、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．