Question

1．如图，点P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）在抛物线x²=2py（p＞0）上．过P的直线PM，PN分别与抛物线交于点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求x₀的值；
（Ⅱ）若PM，PN的斜率存在且倾斜角互补，试求直线MN的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将点P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）代入抛物线的方程，解方程可得所求值；
（Ⅱ）可设直线PM的方程为y-$\frac{p}{2}$=k（x-p），PN的方程为y-$\frac{p}{2}$=-k（x-p），联立抛物线的方程，运用韦达定理可得M，N的坐标，再由直线的斜率公式，计算化简整理，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）点P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）在抛物线x²=2py（p＞0）上，
可得x₀²=2p•$\frac{p}{2}$，解得x₀=p；
（Ⅱ）由PM，PN的斜率存在且倾斜角互补，
可设直线PM的方程为y-$\frac{p}{2}$=k（x-p），
PN的方程为y-$\frac{p}{2}$=-k（x-p），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}-kp}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$可得x²-2pkx-p²+2kp²=0，
由p+x_M=2pk，即x_M=2pk-p，
可得M（2pk-p，2pk²-2pk+$\frac{p}{2}$），
将k换为-k，可得N（-2pk-p，2pk²+2pk+$\frac{p}{2}$），
则直线MN的斜率为$\frac{2p{k}^{2}+2pk+\frac{p}{2}-2p{k}^{2}+2pk-\frac{p}{2}}{-2pk-p-2pk+p}$=$\frac{4pk}{-4pk}$=-1．

点评 本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．