Question

11．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），若f（0）=-f（$\frac{π}{2}$）且在（0，$\frac{π}{2}$）上有且仅有三个零点，则ω=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{26}{3}$
• D． $\frac{14}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．且$\frac{2π}{ω}$＜$\frac{π}{2}$＜$\frac{3}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，求得6＞ω＞4，结合所给的选项，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），f（0）=-f（$\frac{π}{2}$），即f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
故f（x）的图象关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，故sin（$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$）=0，故有$\frac{π}{4}ω$-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z ①．
∵f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且仅有三个零点，故有$\frac{2π}{ω}$＜$\frac{π}{2}$＜$\frac{3}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，∴6＞ω＞4 ②．
综合①②，结合所给的选项，可得ω=$\frac{14}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的周期性，属于中档题．