Question

17．f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，记a=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$，b=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，c=$\frac{f（0．{2}^{2}）}{0．{2}^{2}}$，则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{x}$，由已知得g（x）在（0，+∞）递减，由此能比较a，b，c的大小．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{x}$，
∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
又log₂5＞log₂4=2，1＜2^0.2＜2，0.2²=0.04，
∴log₂5＞2^0.2＞0.2²，
∴a=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$=g（log₂5）＜b=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$=g（2^0.2）＜c=$\frac{f（0．{2}^{2}）}{0．{2}^{2}}$=g（0.2²），
∴a＜b＜c，
故选：A．

点评 本题考查三个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质及构造法的合理运用．