【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,
是矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:∥平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
利用
与
交于
,连接
.证明
,通过直线与平面平行的判定定理证明
平面
;
对于存在性问题,可先假设存在,即假设
在线段
上是否存在点
,使二面角
的大小为
.再通过建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,利用坐标法进行求解判断.
与
交于
,连接
.
由已知可得四边形是平行四边形,
所以是
的中点.
因为是
的中点,
所以.
又平面
,
平面
,
所以平面
.
由于四边形
是菱形,
,
是
的中点,可得
.
又四边形是矩形,面
面
,
面
,
如图建立空间直角坐标系,
则,0,
,
,0,
,
,2,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
,
.
则,
,
令,
,
,
,
又平面的法向量
,0,
,
,
,解得
,
,
在线段
上不存在点
,使二面角
的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,动点
到直线
:
的距离为
,且
,设动点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过点作互相垂直的两条直线,分别交曲线
于点
,
和
,
,若四边形
面积为
,求直线
的方程.
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【题目】已知(
,
是虚数单位),
,定义:
,
,给出下列命题:
①对任意,都有
;
②若是复数
的共轭复数,则
恒成立;
③,则
;
④对任意,结论
恒成立;
则其中真命题是( )
A.①②③④B.②③④C.②④D.①③
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【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左、右焦点分别为
,
.过焦点且垂直于
轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为3,直线
与椭圆
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线:
与椭圆
相交于
两点,使得
?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由!
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【题目】在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就坐,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好.现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是
小林 | 小方 | 小马 | 小张 | 小李 | 小周 | |
体育兴趣爱好 | 篮球,网球,羽毛球 | 足球,排球,跆拳道 | 篮球,棒球,乒乓球 | 击剑,网球,足球 | 棒球,排球,羽毛球 | 跆拳道,击剑,自行车 |
A.小方B.小张C.小周D.小马
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【题目】2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).设其中直角三角形中较小的锐角为,且
,如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻(大小差别忽略不计),则落在小正方形内的黑芝麻数大约为( )
A. 350B. 300C. 250D. 200
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【题目】如图等腰梯形中
,且平面
平面
,
,
为线段
的中点.
(1)求证:直线平面
;
(2)求证:平面 平面
;
(3)若二面角的大小为
,求直线
与平面
所成角的正切值.
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