【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)证明:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1),分
和
两种情况讨论单调性即可;(2)法一:将不等式
变形为
,构造函数
,证明
即可;法二:将不等式
变形为
,分别设
,求导证明
即可.
(1) ,
当时,
,函数
的单调增区间为
,无减区间;
当时,
,当
,
,
单增区间为
上增,单调减区间为
上递减。
(2)解法1: ,即证
,令
,
,
,令
,
,
在
,上单调递增,
,
,故存在唯一的
使得
,
)在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
当
时,
,
时,
; 所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
,得证.
解法2:要证: ,即证:
,令
,
,
当
时,
,
时,
;所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
; 令
,
,,当
时,
,
时,
; 所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,
,得证.
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【题目】下列四个命题:
①经过定点的直线都可以用方程
表示;
②经过定点的直线都可以用方程
表示;
③不经过原点的直线都可以用方程表示;
④经过任意两个不同的点、
的直线都可以用方程
表示,
其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,
是矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:∥平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,动点
与两定点
连线的斜率之积为
,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若过点的直线
与曲线
交于
两点,曲线
上是否存在点
使得四边形
为平行四边形?若存在,求直线
的方程,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在正方体中,点
是线段
上的动点,则下列说法错误的是( )
A. 当点移动至
中点时,直线
与平面
所成角最大且为
B. 无论点在
上怎么移动,都有
C. 当点移动至
中点时,才有
与
相交于一点,记为点
,且
D. 无论点在
上怎么移动,异面直线
与
所成角都不可能是
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【题目】以下四个命题:①命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”;②“
”是“
”的充分不必要条件; ③若
为假命题,则
均为假命题;④对于命题
使得
,则
为
,均有
.其中,真命题的个数是 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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