Question

【题目】已知点，动点到直线：的距离为，且，设动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，和，，若四边形面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）和.

【解析】

（Ⅰ）设点，然后根据直接法求解可得曲线方程．（Ⅱ）设出直线的方程为或，然后利用代数法求出和，并根据四边形的面积可求出直线方程中的参数，进而得到直线方程．

（Ⅰ）设，

∵，

∴，

整理得曲线的方程为．

（Ⅱ）解法一：①当直线的斜率为0时，则，，

∴四边形的面积.

②当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

由消去得.

由已知可知恒成立，

设，，

则，，

∴ ．

∵直线，互相垂直，

∴以替换上式中的可求得，

∴四边形的面积，

解得，

∴直线的方程为或，

即和.

解法二：①当直线的斜率不存在时，可求出，，，.

∴，，

∴四边形的面积.

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

由消去得.

由已知可知恒成立，

设，，

则，.

∴ ．

∵直线，互相垂直，

∴用替换上式中的可求得.

∴四边形的面积，

解得，

∴直线的方程为或，

即和．