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(本小题满分13分)
甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为(cm),相关行业质检部门规定:若,则该零件为优等品;若,则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据:

尺寸






甲机床零件频数
2
3
20
20
4
1
乙机床零件频数
3
5
17
13
8
4
(Ⅰ)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元. 若将频率视为概率,试根据样本估计总体的思想,估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望;
(Ⅱ)对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,试根据样本估计总体的思想,估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”,并说明理由.
参考公式:.
参考数据:

0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
 

(1)2.48(2)约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关

解析试题分析:解:(Ⅰ)设甲机床生产一件零件获得的利润为元,它的分布列为


3
1


0.8
0.14
0.06
 
则有=3×0.8+1×0.14+(-1)×0.06=2.48(元).
所以,甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元.
(Ⅱ)由表中数据可知:甲机床优等品40个,非优等品10个;乙机床优等品30个,非优等品20个.
制作2×2列联表如下:
 
甲机床
乙机床
合计
优等品
40
30
70
非优等品
10
20
30
合计
50
50
100
计算=.
考察参考数据并注意到,可知:对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,根据样本估计总体的思想,约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”.
考点:列联表,直方图,期望,分布列
点评:本小题主要考查概率统计的基础知识和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思想方法,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(理科)(本小题满分12分)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准GB3095 – 2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米 ~ 75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:

PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35]
(35,45]
(45,55]
(55,65]
(65,75]
(75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。(精确到整数)

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(满分100分)如下表所示:

序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若单科成绩85分以上(含85分),则该科成绩为优秀.
(1)根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人):
 
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
 合  计
物理成绩优秀
 
 
 
物理成绩不优秀
 
 
 
合  计
 
 
20
(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多大的把握,认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系?
参考数据:
假设有两个分类变量,它们的值域分别为,其样本频数列联表(称为列联表)为:
 


合计








合计



则随机变量,其中为样本容量;
②独立检验随机变量的临界值参考表:

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
 

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2013年春节前,有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故,肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次,询问结果如图所示:

(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名?
(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数的分布列及其数学期望。

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(本小题满分12分)
PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物,也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级; 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在 75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为 茎,个位为叶)

(I)从这9天的数据中任取2天的数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(II) 以这9天的PM2.   5日均值来估计供暖期间的空气质量情况,则供暖期间(按150天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是,样本数据分组为.

(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

通过市场调查,得到某产品的资金投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据,如表所示:

资金投入x
2
3
4
5
6
利润y
2
3
5
6
9
(Ⅰ)画出数据对应的散点图;
(Ⅱ)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程=x+;
(Ⅲ)现投入资金10万元,估计获得的利润为多少万元?

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(本题12分)某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .若备选的5个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区.

(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;
(2)假定选择的“非低碳小区”为小区,调查显示其“低碳族”的比例为1:2,数据如图1所示,经过大力宣传,三个月后又进行一次调查,数据如图2所示,问这时小区是否达到“低碳小区”的标准?

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现在采用分层抽样法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲,乙两组中共抽取3人进行技术考核.
(1)求甲,乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率;
(3)令X表示抽取的3名工人中男工人的人数,求X的分布列及数学期望.

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