Question

4．设函数f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若同时满足条件：
①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；
②在区间（-∞，-4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；
则实数m的取值范围是（-4，-2）．

Answer 1

分析 由于g（x）=2^x-2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立；由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，则f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．

解答 解：解：对于①∵g（x）=2^x-2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-1-m＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，
∴-4＜m＜0即①成立的范围为-4＜m＜0．
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2^x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，则只要-4比x₁，x₂中的较小的根大即可，
（i）当-1＜m＜0时，较小的根为-m-3，-m-3＜-4不成立，
（ii）当m=-1时，两个根同为-2＞-4，不成立，
（iii）当-4＜m＜-1时，较小的根为2m，2m＜-4即m＜-2成立．
综上可得①②成立时-4＜m＜-2．
故答案为：（-4，-2）．

点评 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键，是中档题．