Question

【题目】已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，.

①求数列的通项公式；

②是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1（2）①bn＝，n∈N*．②m＝3，n＝8

【解析】

试题分析：（1）先根据等差数列通项公式及求和公式得，解方程组得或（舍去），从而可得an＝2n－1（2）①因为＝，所以利用叠加法可求数列的通项公式bn－b1＝，即bn＝，n∈N*．②由b2，bm，bn成等差数列，得b2＋bn＝2bm．解出关系：2m＝7－．最后根据分数整除性，得只有当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，满足题意

试题解析：（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．

由a2·a3＝15，S4＝16，得

解得或（舍去）

所以an＝2n－1．

（2）①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，

所以b1＝a1＝1，

bn+1－bn＝＝，

即 b2－b1＝，

b3－b2＝，

……

bn－bn－1＝，（n≥2）

累加得：bn－b1＝，

所以bn＝b1＋＝1＋＝．

b1＝1也符合上式．

故bn＝，n∈N*．

②假设存在正整数m、n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，

则b2＋bn＝2bm．

又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，

所以＋(－)＝2(－)，即＝＋，

化简得：2m＝＝7－．

当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；

当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．

所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．