Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数的函数的定义及真数大于0．即可求出其定义域．
（Ⅱ）利用函数的奇偶性的定义证明即可，
（Ⅲ）根据对数函数的单调性得到不等式，解得即可，注意函数的定义域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，
解得-1＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，1）
（Ⅱ）f（x）的为奇函数，理由如下
由（1）知定义域关于原点对称，
f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）的为奇函数
（Ⅲ）∵f（x）＞0
即log₂

1+x

1-x

＞0=log₂1
∴

1+x

1-x

＞1，
解得0＜x＜1，
故x的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查了函数的定义域奇偶性以及单调性以及不等式的解法，属于基础题．