Question

20．设f（x）=（log₂x）²-2alog₂x+b（x＞0）．当x=$\frac{1}{4}$时，f（x）有最小值-1．
（1）求a与b的值；
（2）求满足f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，结合x=$\frac{1}{4}$时，f（x）有最小值-1，建立方程组，即可求a与b的值；
（2）f（x）＜0即（log₂x）²+4log₂x+3＜0，即可求出x的范围．

解答 解：（1）f（x）=（log₂x）²-2alog₂x+b=${{（log}_{2}^{x}-a）}^{2}$+b-a²（x＞0），
当x=$\frac{1}{4}$时，f（x）有最小值-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}^{\frac{1}{4}}=a}\\{b{-a}^{2}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=（log₂x）²+4log₂x+3，
f（x）＜0即（log₂x+3）（log₂x+1）＜0，
解得：$\frac{1}{8}$＜x＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值，考查学生解不等式的能力，确定函数的解析式是关键．