Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定点，使得为定值

【解析】

（Ⅰ）由题意可知，，则，，即，,进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率存在时，联立直线AB和椭圆方程，，代入韦达定理即可求得P点坐标；当直线斜率不存在时，，此时可求出，和之前的相等.

（Ⅰ）由题意可知，，则，

又的周长为8，所以，即，，

故椭圆的方程：；

（Ⅱ）假设存在定点，使得为定值，

若直线的斜率存在，设的方程为，

设点，，

将设的方程代入椭圆方程，

整理得，

由韦达定理可得：，，

由于，，

则

，

因为为定值，

所以，

解得，此时，

若直线的斜率不存在，

直线的方程为，，，

则，

当，得，

综上所述：存在定点，使得为定值.