Question

1．求过两圆x²+y²-1=0和x²-4x+y²=0的交点，且与直线x-$\sqrt{3}$y-6=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析 设所求圆的方程为x²+y²-1+λ（x²-4x+y²）=0，利用与直线x-$\sqrt{3}$y-6=0相切，求出λ，即可得出结论．

解答 解：设所求圆的方程为x²+y²-1+λ（x²-4x+y²）=0（λ≠-1），
即（1+λ）x²+（1+λ）y²-4λx-1=0．
∴x²+y²-$\frac{4λ}{1+λ}x-\frac{1}{1+λ}$=0．
∴圆心为（$\frac{2λ}{1+λ}$，0），半径$r=\frac{{\sqrt{{{（{\frac{4λ}{1+λ}}）}^2}+\frac{4}{1+λ}}}}{2}$，
∴$r=\frac{{\sqrt{{{（{\frac{4λ}{1+λ}}）}^2}+\frac{4}{1+λ}}}}{2}$=$\frac{|\frac{2λ}{1+λ}-6|}{2}$，
∴$\frac{{4{λ^2}}}{{{{（1+λ）}^2}}}-\frac{24λ}{1+λ}+36=\frac{{16{λ^2}}}{{{{（1+λ）}^2}}}+\frac{4}{1+λ}$，
解得$λ=-\frac{8}{11}$．
又∵圆x²-4x+y²=0与直线x-$\sqrt{3}y$-6=0相切，
∴所求圆的方程为3x²+3y²+32x-11=0或x²+y²-4x=0．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，属于中档题．