Question

19．若关于x的不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（　　）

• A． e+1
• B． e+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 利用不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，利用导函数研究单调性求出a，b的关系，再次利用导函数研究单调性（a+1）b的最大值．

解答 解：不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=e^x-（a+1）x-b，则f（x）≥0在R上恒成立．
只需要f（x）_min≥0即可．
f′（x）=e^x-（a+1）
令f′（x）=0，
解得x=ln（a+1），（a＞-1）
当x∈（-∞，ln（a+1））时，f′（x）＜0，则f（x）时单调递减．
当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）时单调递增．
故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值
即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
那么：（a+1）²[1-ln（a+1）]≥b（a+1）
令（a+1）=t，（t＞0）
则现求g（t）=t²-t²lnt的最大值．
g′（t）=$2t-2t•lnt-\frac{1}{t}•{t}^{2}$
令g′（t）=0，解得：t=${e}^{\frac{1}{2}}$
得极大值为g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
∴（a+1）b的最大值为$\frac{e}{2}$．
故选C．

点评 本题考查导数与函数的单调性、极值、最值与函数与方程，属难题；