Question

6．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0），f（0）=f（2），且方程f（x）=x有相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[${\frac{1}{2}$，3]的最大值和最小值，并求出取得最大与最小值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0，且f（x）=x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵f（2）=f（0）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
x=1时，f（x）的最大值是f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]递增，在[1，3]递减，
∴x=3时，f（x）的最小值是f（3）=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查求函数的单调性、最值问题，是一道基础题．