Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCD'的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'．
（Ⅱ）由V_A-BCD'=V_D'-ABC，能求出三棱锥A-BCD'的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得$\frac{AB}{DA}=\frac{AD}{DE}=2$，
所以Rt△ABD～Rt△DAE，
所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，
即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，
OB，OD'?平面OBD'．
所以AE⊥平面OBD'．
解：（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，
由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，
所以OD'为三棱锥D'-ABC的高，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以$D'O=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以V_A-BCD'=V_D'-ABC=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•D'O$=$\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×4×2}）×\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{15}$
即三棱锥A-BCD'的体积为$\frac{{8\sqrt{5}}}{15}$．

点评 本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．