Question

设函数f(x)=

2x-3

x

，g(x)=lnx．
（1）试判断当x＞0，g（x）与f（x）的大小关系；
（2）求证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上的两点，且g′（x₀）=

y1-y2

x2-x1

（其中g′（x）为g（x）的导函数），证明：x₀∈（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）欲求g（x）与f（x）的大小关系只需判断F（x）=g（x）-f（x）的正负，利用导数研究函数F（x）的最小值，使最小值与0比较即可；
（2）由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 令x=n（n+1）（n∈N^*），则ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

，从而可证得结论；
（3）根据g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，然后证明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等价于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x，利用导数研究最小值与0比较，对于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可证，即可证得结论．

解答：（1）解：设F（x）=g（x）-f（x）（x＞0）
则F′（x）=

1

x

-

3

x2

由F′（x）=0得x=3
当0＜x＜3时，F′（x）＜0；当x＞3时，F′（x）＞0
∴x=3时，F（x） 取得最小值为F（3）=ln3-1＞0 
∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x） …（5分）
（2）证明：由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 
令x=n（n+1）（n∈N^*），则ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

 …（7分）
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2-

3

1•2

）+（2-

3

2•3

）+…+[2-

3

n(n+1)

]
=2n-3[

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

]
=2n-3（1-

1

n+1

）＞2n-3
∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（10分）
（3）证明：g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
以下证明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

 
等价于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x …（12分）
则h'（x）=lnx₂-lnx₁，在(0，

x

2

] 上，h'（x）＞0 
所以h（x）在（0，x₂]上为增函数
当x₁＜x₂时h（x₁）＜h（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0 
从而x₀＞x₁，得到证明．对于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可证．
所以x₀∈（x₁，x₂）．…（16分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用导数证明不等式，同时考查了转化的思想，以及考查计算能力，属于难题．