Question

8．已知点G（5，4），圆C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，过点G的动直线l与圆C₁相交于E、F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C₂上．
（1）若直线mx+ny-1=0（mn＞0）经过点G，求mn的最大值；
（2）求圆C₂的方程；
（3）若过点A（1，0）的直线l₁与圆C₂相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．

Answer 1

分析 （1）若直线mx+ny-1=0（mn＞0）经过点G，则5m+4n=1，由基本不等式可得答案；
（2）利用$\overrightarrow{{C}_{1}C}$•$\overrightarrow{CG}$=0，即可求点C的轨迹C₂的方程；
（3）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$

解答 解：（1）若直线mx+ny-1=0（mn＞0）经过点G，
则5m+4n=1≥2$\sqrt{5m•4n}$=4$\sqrt{5}$•$\sqrt{mn}$，
故$\sqrt{mn}$≤$\frac{1}{4\sqrt{5}}$，
∴mn≤$\frac{1}{80}$，
即mn的最大值为$\frac{1}{80}$；
（2）圆C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，圆心C₁（1，4），半径为5，
设C（x，y），则$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（x-1，y-4），$\overrightarrow{CG}$=（5-x，4-y），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}C}$•$\overrightarrow{CG}$=0，
∴（x-1）（5-x）+（y-4）（4-y）=0，即：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴点C的轨迹C₂的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4；
证明：（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
与x+2y+2=0联立可得N（$\frac{2k-2}{2k+1}$，-$\frac{3k}{2k+1}$），
又直线CM与l₁垂直，$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y-4=-\frac{1}{k}（x-3）\end{array}\right.$得M（$\frac{{k}^{2}+4k+3}{1+{k}^{2}}$，$\frac{{4k}^{2}+2k}{1+{k}^{2}}$）．
∴|AM|•|AN|=|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|=|$\frac{2|2k+1|}{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{3•\sqrt{1+{k}^{2}}}{|2k+1|}$|=6为定值．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点，考查向量知识的运用，属于中档题