Question

已知函数f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；
（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0），
∴f′（x）=2ax-3+，x＞0
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a-2=0，∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+，x＞0，
令f′（x）=2x-3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为[，1），单调增区间为（1，+∞），
当在区间时．∴f（x）在区间[，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）
∴f_max（x）=f（2）=-2+ln2，f_min（x）=f（1）=-2．（6分）
（2）原函数定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=2ax-3+=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
由于a＞0，设g（x）=2ax²-3x+1（x∈（0，+∞））
由题意知△=9-8a≤0
∴a≥
所以a的取值范围为：a≥．（12分）
分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．
（2）要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，导数中常见的恒成立问题，属中档题．