Question

1．直线y=a分别与曲线y=x²-lnx，y=x-2交于点P、Q，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 设P（x₁，a），Q（x₂，a），则${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}={x}_{2}-2$，用x₁表示出x₂，求出|PQ|，利用导数求出|PQ|的最小值．

解答 解：设P（x₁，a），Q（x₂，a），则${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}={x}_{2}-2$，
∴x₂=${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}+2$，
∴|PQ|=x₂-x₁=${{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}-{x}_{1}+2$，
令y=x²-lnx-x+2，则y′=2x$-\frac{1}{x}-1$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$（x＞0），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为2，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键，是中档题．