Question

5．已知a+b=-cotθ，ab=-$\frac{1}{sinθ}$（a≠b），
（1）求过两点（a，a²），（b，b²）的直线方程（可含θ但不含a，b）；
（2）对一切有意义的θ的值，是否存在一个定点P（x₀，y₀），使P到所有过（a，a²），（b，b²）的直线等距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直线的斜率，中点坐标，再用点斜式得出直线方程；
（2）求出P（x₀，y₀）到直线AB的距离，即可得出结论．

解答 解：（1）假设A（a，a²），B（b，b²），则AB的中点为M（$\frac{1}{2}$（a+b），$\frac{1}{2}$（a²+b²）） 
∵a+b=-cotθ，ab=-cscθ，∴k_AB=（a²-b²）÷（a-b）=a+b=-cotθ，
∵a²+b²=（a+b）²-2ab=cot²θ+2cscθ，
∴M（-$\frac{1}{2}$cotθ，$\frac{1}{2}$cot²θ+cscθ） 
直线AB的方程为y=-cotθ（x+$\frac{1}{2}$cotθ）+$\frac{1}{2}$cot²θ+cscθ 
即：y=-cotθx+cscθ，；
（2）P（x₀，y₀）到直线AB的距离为 
d=$\frac{|{x}_{0}cotθ+{y}_{0}-cscθ|}{\sqrt{1+co{t}^{2}θ}}$=$\frac{|{x}_{0}cotθ+{y}_{0}-cscθ|}{|cscθ|}$
当x₀=y₀=0时，d=1，∴P点坐标为（0，0）

点评 本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．