Question

【题目】已知椭圆C1：（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2﹣有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （　　）

A. e2＝ B. e2＝ C. e2＝ D. e2＝

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据双曲线方程，确定一条渐近线为y＝2x，可得AB＝2a且AB为题中圆的直径．由椭圆与双曲线有公共焦点，可得a2﹣b2＝5．设C1与y＝2x在第一象限的交点为C（m，2m），代入C1解出m2＝．再由对称性知直线y＝2x被C1截得的弦长CD＝2m，根据C1恰好将线段AB三等分解出m＝，联解可得a2、b2、c2的值，结合离心率的公式加以计算，可得答案．

由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y＝2x，

根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y＝2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB＝2a

∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点，

∴C1的半焦距c＝，可得a2﹣b2＝5，…①

设C1与y＝2x在第一象限的交点的坐标为C（m，2m），

代入C1的方程，解得m2＝，…②

由对称性可得直线y＝2x被C1截得的弦长CD＝2m，

结合题意得2m＝，可得m＝，…③

由②③联解，得a2＝11b2…④

再联解①④，可得a2＝5.5，b2＝0.5，得c2＝a2﹣b2＝5．

∴椭圆C1的离心率e满足e2＝＝．

故选：A．