Question

【题目】证明：任何一个正方形均可分割成个全等的非矩形图形，其中，、为互不相等的素数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

若存在一个矩形可分割成个全等的非矩形图形，则可通过倍长这个矩形的两边长将其拉伸成一个正方形．

此时，可考虑用较简单的“角形”（如图4）来分割该矩形．

因此，只需说明存在个角形拼成的矩形，也就是说存在一个面积为的矩形可完全分割成角形即可，不妨设．

当时，对任意的素数，必存在一个面积为的矩形可分割成角形（由个的矩形并排组成的矩形），即任何一个正方形可分割成个全等的非矩形图形．

当时，只需说明存在一个面积为的矩形可分割成角形即可．

先将一个的矩形分割成15个角形（如图5），称该矩形为“基本矩形”．

（1）若，，其基本矩形就是它的分割．故命题成立．

若，，由为素数，知为奇数．

此时，只需在基本矩形下添若干行的矩形即可，而每个的矩形是由三个的矩形并排而成，可分割成角形．故命题成立．

（2）若，由（1），知可用角形拼成一个的矩形．

由于，又为奇素数，为的倍数，因此，可在原的矩形右侧添加若干个的矩形，而每个的矩形可分割成角形，它们一起构成一个面积为的矩形．

故命题成立．

综上，对任意的素数、，均存在一个矩形，可将其分割成个角形．

从而，任何一个正方形均可分割成个全等的非矩形图形，其中，、为互不相等的素数．