Question

17．若函数f（x）=|e^x+x²-x-m|-2有两个零点，则m的取值范围是（-1，3）．

Answer 1

分析 令g（x）=e^x+x²-x-m，利用导数法求出单调区间，进而判断函数g（x）的最小值，再由y=|g（x）|-2有两个零点，所以方程g（x）=±2有2个根，即-2＜1-m＜2，即可得到m的取值范围．

解答 解：令g（x）=e^x+x²-x-m，
g′（x）=e^x+2x-1，
令g′（x）=0，则x=0，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减；
则x=0为g（x）取最小值1-m．
又函数f（x）=|g（x）|-2有两个零点，所以方程g（x）=±2有二个根，
所以-2＜1-m＜2，
解得m∈（-1，3），
故答案为：（-1，3）．

点评 本题主要考查函数零点的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，综合性较强，有一定的难度．