Question

6．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，cos∠BAD=$\frac{1}{3}$，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设AC=$\sqrt{2}$，则AB=AD=1．在△ABD中，由余弦定理可得：解得BD．可得cosB，sinB．在△ABC中，由正弦定理即可得出．

解答 解：不妨设AC=$\sqrt{2}$，则AB=AD=1．
在△ABD中，由余弦定理可得：BD²=1+1-2cos∠BAD=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，解得BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
取BD的中点E，连接AE，
则cosB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{1}{sinC}$，解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．