Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{S_n}{n}$）（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n
（3）求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）求出S_n，再根据a_n与S_n的关系求出a_n；
（2）使用裂项法求和；
（3）分离参数得m＞20T_n，求出20T_n的最大值或极限即可得出m的值．

解答 解：（1）∵点（n，$\frac{S_n}{n}$）（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=3n-2，即S_n=3n²-2n，
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
当n=1时，上式仍成立，
∴a_n=6n-5．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{6}$•（1-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{n}{6n+1}$．
（3）∵T_n＜$\frac{m}{20}$，∴m＞20T_n=$\frac{20n}{6n+1}$．
令f（n）=$\frac{20n}{6n+1}$，则f（n）为增函数时，且$\underset{lim}{n→+∞}$f（n）=$\frac{10}{3}$，
∵m为正整数，
∴m=4．

点评 本题考查了数列通项公式的求解，裂项法求和，函数恒成立问题，属于中档题．