Question

5．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为$\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）X可能的取值为10，20，100，-200，运用几何概率公式得出求解相应的概率，得出分布列．
（2）利用对立事件求解得出P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，即可求出1-P（A₁A₂A₃）．

解答 解：（1）X可能的取值为10，20，100，-200．
根据题意，有P（X=10）=$C_3^1×{（\frac{1}{2}）^1}×{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{3}{8}$，
P（X=20）=$C_3^2×{（\frac{1}{2}）^2}×{（1-\frac{1}{2}）^1}=\frac{3}{8}$，
P（X=100）=$C_3^3×{（\frac{1}{2}）^3}×{（1-\frac{1}{2}）^0}=\frac{1}{8}$，
P（X=-200）=${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{0}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{0}×（1-\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$．
∴X的分布列为：

X	10	20	100	-200
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

X的数学期望为EX=10×$\frac{3}{8}$+20×$\frac{3}{8}$+100×$\frac{1}{8}$-200×$\frac{1}{8}$=-$\frac{5}{4}$．
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A_i（i=1，2，3），则
P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$．
∴“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1-P（A₁A₂A₃）=$1-{（{\frac{1}{8}}）^3}=1-\frac{1}{512}=\frac{511}{512}$．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是$\frac{511}{512}$．

点评 本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查几何互斥事件，对立事件概率求解，属于中档题．