Question

3．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0），求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过a大于0与小于0，判断函数的导数的符号得到函数的单调性与极值．

解答 解：f′（x）=3（x²-a）（a≠0）．
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由f′（x）=0得x=±$\sqrt{a}$．
当x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=-$\sqrt{a}$是f（x）的极大值点，x=$\sqrt{a}$是f（x）的极小值点．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查函数的单调性与函数的极值的求法，考查计算能力．