Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，满足f（x）=-f（x+1），且当-1＜x≤1时，f（x）=1-x²，若函数g（x）=f（x）+x-a恰有两个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合为（　　）

• A、{a|a=2k+

  3

  4

  或2k+

  5

  4

  ，k∈N}
• B、{a|a=2k-

  1

  4

  或2k+

  3

  4

  ，k∈N}
• C、{a|a=2k+1或2k+

  5

  4

  ，k∈N}
• D、{a|a=2k+1，k∈Z}

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，可结合图象进行解题．

解答： 解：∵对于定义域内的任意x，满足f（x）=-f（x+1），
 且当-1＜x≤1时，f（x）=1-x²，
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∵g（x）=f（x）+x-a，
令h（x）=a-x，
∴函数g（x）的零点个数等价于f（x）和h（x）的交点个数，
如图示：
，
∴①h（x）过（1，0）点时与函数f（x）=1-x²有两个交点，
把（1，0）代入h（x）=a-x，解得：a=1，
②函数h（x）与f（x）=1-x²相切时和图象有两个交点，
∴

y=a-x y=1-x2

，
∴x²-x+a-1=0，
△=1-4（a-1）=0，
解得：a=

5

4

，
∴a=2k+1，或a=2k+

5

4

，k∈Z，
故选：C．

点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，考察了周期函数，是一道中档题．