Question

用数学归纳法证明：（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

2

（n≥2）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答： 证明：（1）当n=2时，左边=1+

1

3

=

4

3

＞

5

2

，∴n=2时成立；
（2）假设当n=k（k≥1）时成立，即：（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

2

那么当n=k+1时，左边=（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

2

•（1+

1

2k+1

）=

2k+2

2 2k+1

，
∵

(2k+1)(2k+3)

＜2k+2，
∴

2k+2

2 2k+1

＞

2k+3

2

，
∴n=k+1时也成立
根据（1）（2）可得不等式对所有的n≥2都成立．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．