Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=rⁿ-1（r＞0，r≠1），且

a5

a2

=27．
（1）求r的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意化简a₂=S₂-S₁、a₅=S₅-S₄，代入

a5

a2

=27化简求出r的值，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

和等比数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）条件化简b_n=a_n²，利用等比数列的前n项和公式求出T_n．

解答： 解：（1）由题意知，S_n=rⁿ-1（r＞0，r≠1），
则a₂=S₂-S₁=（r²-1）-（r-1）=r²-r，
a₅=S₅-S₄=（r⁵-1）-（r⁴-1）=r⁵-r⁴，
因为

a5

a2

=27，所以

r5-r4

r2-r

=27，解得r=3，
则S_n=3ⁿ-1，
当n=1时，a₁=S₁=3-1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
当n=1时，也适合上式，所以a_n=2•3^n-1；
（2）由（1）得，b_n=a_n²=4•3^2n-2=4•9^n-1，
所以T_n=4（9+9²+9³+…+9^n-1）=4×

9(1-9n)

1-9

=

9(9n-1)

2

，
则T_n=

9(9n-1)

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，以及公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的应用，考查方程思想和化简能力．