Question

已知函数f（x）=x-

k

x

（k∈R）过点（2，0）
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）讨论关于x的方程|f（x）|=t+

5

4

x（t∈R）的正根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明,函数与方程的综合运用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）求出k=4，直接利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）由于函数f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）上单调递增，f（2）=0，故当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x＞2时，f（x）＞0．画出y=|f（x）|和y=t+

5

4

x的图象，讨论两图象交点的个数，即可得到关于x的方程|f（x）|=t+

5

4

x（t∈R）的正根的个数．

解答： 解：（1）函数f（x）=x-

k

x

（k∈R）图象过点（2，0），
则0=2-

k

2

，解得，k=4．
则当k=4时，函数f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）单调递增．
证明：?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-x2+

4

x2

=(x1-x2)-

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴1+

4

x1x2

＞0．
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
则函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）函数f（x）=x-

4

x

，方程|f（x）|=t+

5

4

x，即|x-

4

x

|=t+

5

4

x，
由于函数f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）上单调递增，
f（2）=0，
故当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x＞2时，f（x）＞0．
当0＜x＜2时，方程即

4

x

-x=t+

5

4

x，即 t=

4

x

-

9

4

x，
显然函数t为减函数，故有t＞-

5

2

；
当x≥2时，方程即 x-

4

x

=t+

5

4

x，
即t=-（

x

4

+

4

x

 ）≤-2，
故当t＜-

5

2

或t＞-2时，方程有一正根；
当t=-

5

2

或t=-2时，方程有二个正根；
当-

5

2

＜t＜-2时，方程有三个正根．

点评：本题考查函数的单调性及运用，考查绝对值函数的图象和性质，考查分离参数和数形结合的思想方法，属于中档题和易错题．